Diferenciación Numérica

Diferenciación Numérica 

Se consideran algunas técnicas de aproximación para derivar una función f(x) dada. Las reglas que resultan son de grande importancia para la solución de ecuaciones diferenciales. Pueden ser utilizadas para obtener aproximaciones numéricas de una derivada a partir de los valores de la función.

Pero el método de diferenciación numérica basado en interpolación numérica es un proceso inestable y no se puede esperar una buena aproximación aun cuando la información original está bien aproximada, por lo que el error f"(x) – p"(x) puede ser muy grande especialmente cuando los valores de f(x) tengan perturbaciones.

Para el caso de una función lineal, ƒ(x) = ax + b, la aproximación dada por la expresión (1) resulta exacta para cualquier valor de h distinto de cero. Pero para cualquier función ƒ en general no siempre resulta exacta.

A continuación se hace una estimación del error asociado a la aproximación dada por (1) usando el teorema de Taylor con un polinomio de grado 1.

La ecuación (3) es más útil que la ecuación (1), ya que tiene un término que cuantifica el error y este se conoce como término de error.

Ejemplo.

Solución:

Se puede obtener otra fórmula para aproximar la derivada usando la ecuación (2),

A la aproximación (1) se le llama fórmula de diferencia hacia delante y a la aproximación dada por (4) se le conoce como fórmula de diferencia hacia atrás, ambas fórmulas presentan el mismo error.

Se puede obtener otra fórmula para aproximar la derivada con un error que involucre h2 usando un polinomio de grado 2 así:

Si se restan las anteriores ecuaciones, se tiene:

Errores por truncamiento y redondeo al aproximar la derivada

Considere la ecuación de diferencias centradas (6).

Como se puede apreciar, tiene una parte debida al error del redondeo y otra al error de truncamiento.

Lo que se debe tener presente es que con la reducción de h no siempre se mejora la aproximación.

Ejercicio:

Error Relativo: