Aplicaciones

PLICACIONES DE LA INTEGRACIÓN NUMÉRICA:

La gran utilidad que poseen las integrales en las diferentes ramas de la Geometría, la Física, la Química, las Ciencias Económicas y, prácticamente, en todas las ramas del saber, se ven reflejadas cada día más en nuestra vida profesional, como en el cálculo de áreas, volúmenes, mecánica  aplicada, ecuaciones diferenciales; entre otras. Por ejemplo en la industria de la construcción de edificios, los ingenieros necesitan realizar la evaluación de los elementos de las matrices de flexibilidades así como los giros de fijación, los cuales requieren del proceso matemático de integración. Para elementos de sección variable, en la mayoría de los casos, el realizar la integración analítica resulta bastante tedioso y poco práctico, por lo que es más adecuada la aplicación de integración numérica.

Por conveniencia, si consideramos que los datos están uniformemente espaciados (segmentos en que se divide el intervalo de integración del mismo tamaño), por su sencillez la regla trapecial puede ser la primera de las fórmulas de integración cerrada aplicable al problema por resolver. La regla de Simpson de 1/3 es, a menudo, el método de preferencia, ya que alcanza una exactitud de tercer orden con sólo tres puntos en comparación con los cuatro puntos requeridos por la de 3/8, es la mas utilizada en los trabajos para evaluar numéricamente las expresiones relativas a los coeficientes de flexibilidad

Integración múltiple

El cálculo de varias variables es una extensión del cálculo bidimensional o de una variable a más de una dimensión. Comúnmente utilizado en el espacio tridimensional. Por eso, así como la derivación tiene su abstracción multidimensional, la integración también la tiene.  La integración múltiple es el proceso de encontrar las primitivas de una función de varias variables respecto a todas las variables independientes que dicha función posea. Generalmente la aplicación más directa es la integral definida, utilizada para encontrar áreas de regiones y volúmenes de superficies en el espacio.  Integral doble La doble integral es utilizada en funciones de dos variables independientes, de la forma z = f ( x , y ). La integral de esta función tiene la forma siguiente: A la integral anterior se le llama integral iterada, pues el proceso se realiza por pasos. El orden de integración puede cambiar primero respecto a y y luego respecto a x o viceversa. El proceso consiste en integrar primero la función respecto a la primera variable y volver la otra constante para luego integrar ese resultado respecto a la variable restante.  La doble integral definida se usa para encontrar áreas o volúmenes. Para encontrar áreas no es necesario contar con una función. Por ejemplo, el área de una circunferencia con centro en el origen de radio 1. Para encontrar el área del círculo, que en este caso es igual a Pi, se pueden usar ambos ordenes de integración. Esto depende de lo siguiente. La ecuación de este círculo es: La ecuación se puede despejar respecto a las dos variables. Lo más importante son los límites de integración. La región tipo I se obtiene al sumar las áreas de rectángulos verticales, como se acostumbra. En este caso, primero se integra respecto a y y luego respecto a x. Los límites de la primera integral son funciones de la forma y = f(x).  Entonces, la función se despeja respecto a y para encontrar los límites de integración de esa variable. Los límites de integración de x son siempre constantes y representan el rango en el que x se mueve; en este caso, el radio de la circunferencia.  Cuando los límites superior e inferior son idénticos a excepción del signo, se dice que existe simetría. Por ello, el límite inferior puede ser 0 y la integral completa se multiplica por 2. En este caso, por 4 pues los dos pares de límites son simétricos.  La integral se resuelve de la forma convencional. Se integra y se evalúa, dos veces: En caso de la región tipo II, los rectángulos son horizontales y es la variable x la que depende de y. El despeje es al revés, y los límites de integración de y son iguales que los de x en el primer ejemplo.  La integral queda resuelta de esta forma: Cuando una integral doble no contiene función en el argumento, el cálculo corresponde a un área limitada por los límites de integración. Cuando la integral doble sí contiene una función en el argumento, de la forma z = f( x, y ), el cálculo de la integral corresponde al volumen entre la superficie en el espacio representada por dicha función y una región representada por los límites de integración. Por ejemplo la función de la esfera con centro en el origen y radio 1: Se despeja la función respecto a z. En este caso, solo se calculara el volumen de la mitad superior de la esfera para ocupar la raíz positiva. La integral se multiplicará por 2 para obtener el volumen total. En ese caso, el orden de integración puede ser el que sea. Por naturalidad, se usará una región tipo I. La región sobre el plano xy desde la cuál se mide el volumen hasta la superficie es una circunferencia con centro en el origen con radio 1. Se puede obtener igualando z a 0. Los límites de x y y quedan como sigue: La integral, entonces, se plantea de la siguiente manera: Como los límites de integración de ambas variables presentan simetría, la integral puede empezar desde 0 en ambos y se multiplica por 4: La resolución de la integral es compleja pues convergen varios métodos de integración. Pero el resultado, que es constante, equivale al resultado de calcular el volumen de la esfera por la ecuación: Integral triple La integral triple se usa en funciones de la forma w = f ( x, y, z). Puede utilizarse para encontrar volúmenes de superficies o entre superficies e hipervolúmenes, que si bien poseen una magnitud, no tienen una representación física. Encontrar los límites de integración es nuevamente la tarea más compleja. En general, debería ser de la forma siguiente: Este es el orden convencional. Sin embargo si el orden de los diferenciales cambian, también lo hacen los límites de integración. Pero la función siempre se queda intacta.  Cuando la integral no tiene una función en el argumento, el cálculo corresponde a un volumen. Por ejemplo, se pide encontrar el volumen del primer octante del sólido acotado por las siguientes superficies: El volumen que se pide es solo en el primer octante. De acuerdo a esto, la variable z varía desde 0 hasta el valor correspondiente de la función z (x,y). El primer diferencial es z. Para la variable x y y,  es conveniente hacer un despeje para que el diferencial de x vaya primero: De esta forma, y queda como una función de x. Finalmente, la intersección del plano con el cilindro está en y = 1, y se parte desde el origen. Por fin, la integral queda de la siguiente forma: La integral se resuelve de la misma forma que en integrales dobles, mediante la iteración hasta encontrar un valor constante que corresponde al volumen de la figura.

Método de bisección

Método de bisección
20 de marzo de 2011 Publicado por Eduardo
Este método , que se utiliza para resolver ecuaciones de una variable, está basado en el «Teorema de los Valores Intermedios» (TVM), en el cual se establece que toda función continua f, en un intervalo cerrado [a,b], toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b), de tal forma que la ecuación f(x)=0 tiene una sola raíz que verifica f(a).f(b)<0.
Dicho en cristiano, que si dicha función viaja del punto a al punto b, ha de pasar por m, que es cuando la función se hace cero. Ése es el punto que buscamos.
*Nota: Como veis f(a) es negativo, por tanto el producto dará negativo, eso nos asegura que existe al menos un valor de la función que es cero.
Una vez entendido lo anterior, veamos en detalle en qué consiste el método de la bisección:
En pocas palabras, consiste en ir dividiendo la función que hemos visto arriba en subintervalos, y hallar los puntos medios de cada uno de ellos (m), quedándonos una cosa así:
Pero veámoslo por pasos cual receta de cocina:
1) Elegimos dos valores iniciales a1 y b1, de tal forma que la función cambie de signo:
2) Realizamos la primera aproximación a la raíz, mediante la fórmula del punto medio:
**Nota, usamos los puntos, no las funciones!! Es decir, lo que está dentro del paréntesis, NO pongáis aquí el resultado de sustituir en la función.
3) Ahora determinamos en que subintervalo se encuentra la raíz:
Si f(a1)f(m1) <0, entonces la raíz está en el subintervalo [a1,m1] y b1=m1
si f(a1)f(m1)>0, entonces la raíz está en el subintervalo [b1, m1] y a1=m1
Si f(a1)f(m1)=0, entonces aquí se encuentra la raíz
Resumido, hasta aquí, es ir hallando mitades sucesivamente hasta llegar al intervalo que nos de igual a cero.
4) Calculamos una nueva aproximación a la raíz.
5) Evaluamos el valor relativo aproximado:
Entonces, si:
Si no cumple la condición, simplemente volvemos al paso 3.
>>Ejemplo:
Aproximar la raíz:
Hallar en que intervalo está la raíz con un error más pequeño que media decima
Lo que nos piden es que hallemos una solución para esa ecuación, y que el error que podamos tener de cálculo sea menor a 0.5. Procedemos paso a paso:
1) Comprobamos si es continua y vemos si cambia de signo para dos valores x1 y x2:
f es continua en el intervalo (0,+∞). Ahora debemos buscar dos valores tales que:
f(x1).f(x2)<0
x1=1-> f(x1)= 0,3679
x2=1->f(x2)= -0,5578
*Nota: Los valores elegidos son aleatorios, podéis usar otros distintos de 1 y 2, siempre que f(x) cambie de signo.
2) x3=(x1+x2)/2=1,5 –>∈<0,5, ya que |1-1,5|=0,5 y |2-1,5|=0,5
3) Momento de empezar a escoger subintervalos, escogemos el x1=1 que ya teníamos y el x3=1,5:
a) f(x3)= -0,1823
f(x1)= 0,3679
ya que |1,5-1,25|=0,25 y |1-1,25|=0,25
Como vemos el error es cada vez más pequeño, pero podemos hacerlo todavía mejor, pues todavía no está cercano a cero. Seguimos haciendo subintervalos.
b) f(x4)=0.0634
x4=1,25 ; f(x4)=0,0634
x3=1,5; f(x3)= -0,1823
c) f(x5)= -0,0656
x4=1,25; f(x4)= 0,0634
x5=1,375; f(x5)= -0.0656
d) f(x6)= -0,0028
x4=1,25; f(x4)= 0,0634
x6=1,3125; f(x6)= -0.028
f(x7)=0,0299
Finalmente obtenemos que 1,28125 ± 0,03125 es una raíz de f(x).
** Resumen**
Como veis ha sido muy simple, tomamos dos valores de referencia, x1 y x2, hemos ido hallando la media de esos dos puntos y tomando un nuevo intervalo desde esa media, lo que conseguimos haciendo esto es «encoger» el intervalo donde se esconde la solución, haciéndolo cada vez más pequeño, y por tanto, más preciso para hallar nuestra raíz.

Integración numérica

Integración numérica

Integración numérica: Método del trapecio, Métodos de Simpson 1/3 y 3/8. En matemáticas la regla del trapecio es un método de integración numérica, es decir, un método para calcular aproximadamente el valor de la integral definida.   La función f(x) (en azul) es aproximada por la función lineal (en rojo). La regla se basa en aproximar el valor de la integral de f(x) por el de la función lineal que pasa a través de los puntos (a, f(a)) y (b,f(b)). La integral de ésta es igual al área del trapecio bajo la gráfica de la función lineal. Se sigue que y donde el término error corresponde a: Siendo ξ un número perteneciente al intervalo [a,b].     Regla del trapecio compuesta La regla del trapecio compuesta o regla de los trapecios es una forma de aproximar una integral definida utilizando n trapecios. En la formulación de este método se supone que f es continua y positiva en el intervalo [a,b]. De tal modo la integral definida representa el área de la región delimitada por la gráfica de f y el eje x, desde x=a hasta x=b. Primero se divide el intervalo [a,b] en nsubintervalos, cada uno de ancho Δx = (b − a) / n. Después de realizar todo el proceso matemático se llega a la siguiente fórmula: Donde y n es el número de divisiones. La expresión anterior también se puede escribir como: REGLAS DE SIMPSON: Ademas de aplicar la regla trapezoidal con segmentos cada vez mas finos, otra manera de obtener una estimacion mas exacta de una integral, es la de usar polinomios de orden superior para conectar los puntos. A las formulas resultantes de calcular la integral bajo estos polinomios se les llama reglas de Simpson. ·         REGLA DE SIMPSON DE 1/3    La regla de Simpson de 1/3 resulta cuando se sustituye un polinomio de segundo orden en la ecuacion: Si a y b se denominan como x0 y x2 , y f2 (x) se representa mediante un polinomio de Lagrange de segundo orden, entonces la integral es: Despues de integrar y de reordenar terminos, resulta la siguiente ecuacion:   ·         REGLA DE SIMPSON 1/3 DE SEGMENTOS MULTIPLES. Asi­ como la regla trapezoidal, la regla de Simpson se mejora dividiendo el intervalo de integracion en segmentos de igual anchura.   h=(b-a)/n La integral total se representa como: Sustituyendo la regla de Simpson en cada una de las integrales individuales se obtiene: reordenando los terminos, se obtiene: ·         REGLA DE SIMPSON DE 3/8. De manera similar a la derivacion de la regla trapezoidal y a la regla de Simpson de 1/3, se ajustan polinomios de Lagrange de tercer orden a cuatro puntos e integrar; para obtener En donde h=(b-a)/3. A esta ecuacion se le llama regla de Simpson de 3/8 porque h es un multiplo de 3/8. Esta es la tercera regla cerrada de integracion de Newton-Cotes.   ·         REGLA DE SIMPSON 3/8 MULTIPLES. La regla de Simpson de 1/3 es, en general, el mrtodo de preferencia ya que alcanza exactitud de tercer orden con tres puntos en vez de los de cuatro puntos necesarios para la version de 3/8. No obstante, la regla de 3/8 tiene utilidad en aplicaciones de segmentos multiples cuando el numero de segmentos es impar. Para una estimacion de cinco segmentos una alternativa es la de aplicar la regla de Simpson de 1/3 a los primeros segmentos y la regla de Simpson de 3/8 a los ultimos tres. De esta manera, se obtiene una estimación con exactitud de tercer orden a través del intervalo completo.

Diferenciación Numérica

Diferenciación Numérica 

Se consideran algunas técnicas de aproximación para derivar una función f(x) dada. Las reglas que resultan son de grande importancia para la solución de ecuaciones diferenciales. Pueden ser utilizadas para obtener aproximaciones numéricas de una derivada a partir de los valores de la función.

Pero el método de diferenciación numérica basado en interpolación numérica es un proceso inestable y no se puede esperar una buena aproximación aun cuando la información original está bien aproximada, por lo que el error f"(x) – p"(x) puede ser muy grande especialmente cuando los valores de f(x) tengan perturbaciones.

Para el caso de una función lineal, ƒ(x) = ax + b, la aproximación dada por la expresión (1) resulta exacta para cualquier valor de h distinto de cero. Pero para cualquier función ƒ en general no siempre resulta exacta.

A continuación se hace una estimación del error asociado a la aproximación dada por (1) usando el teorema de Taylor con un polinomio de grado 1.

La ecuación (3) es más útil que la ecuación (1), ya que tiene un término que cuantifica el error y este se conoce como término de error.

Ejemplo.

Solución:

Se puede obtener otra fórmula para aproximar la derivada usando la ecuación (2),

A la aproximación (1) se le llama fórmula de diferencia hacia delante y a la aproximación dada por (4) se le conoce como fórmula de diferencia hacia atrás, ambas fórmulas presentan el mismo error.

Se puede obtener otra fórmula para aproximar la derivada con un error que involucre h2 usando un polinomio de grado 2 así:

Si se restan las anteriores ecuaciones, se tiene:

Errores por truncamiento y redondeo al aproximar la derivada

Considere la ecuación de diferencias centradas (6).

Como se puede apreciar, tiene una parte debida al error del redondeo y otra al error de truncamiento.

Lo que se debe tener presente es que con la reducción de h no siempre se mejora la aproximación.

Ejercicio:

Error Relativo: